Autoregressive Mobile Media Stata

Introduzione ARIMA nonseasonal models. ARIMA p, d, q equazione previsione modelli ARIMA sono, in teoria, la classe più generale di modelli per prevedere una serie temporale che può essere fatto per essere stazionaria differenziazione se necessario, magari in combinazione con trasformazioni non lineari come ad esempio la registrazione o sgonfiando se necessario una variabile casuale che è una serie temporale è stazionaria se le sue proprietà statistiche sono tutte costanti nel tempo una serie stazionaria è nessuna tendenza, le sue variazioni intorno al suo medio di avere una ampiezza costante, e dimena in modo coerente cioè suoi schemi temporali casuale breve termine sempre lo stesso aspetto in senso statistico quest'ultima condizione implica che le sue autocorrelazioni correlazioni con le proprie precedenti deviazioni dalla media rimangono costanti nel tempo, o equivalentemente, che il suo spettro di potenza costante nel tempo comunque a variabile di questo modulo può essere visto come al solito come una combinazione di segnale e rumore, e il segnale se risulta potrebbe essere un modello di reversione veloce o lento medio, o oscillazione sinusoidale, o rapida alternanza di segno, e potrebbe anche avere un modello ARIMA componente stagionale può essere visto come un filtro che cerca di separare il segnale dal rumore, e il segnale viene poi estrapolato nel futuro per ottenere equazione previsione forecasts. The ARIMA per una serie temporale stazionaria è lineare cioè regression - tipo di equazione in cui i predittori consistono ritardi della variabile dipendente e o ritardi di errori di previsione Tale valore is. Predicted di Y una costante eo una somma pesata di uno o più valori recenti di Y eo una somma pesata di uno o i valori più recenti del errors. If predittori consistono solo di valori ritardati di Y è un modello di auto-regredito autoregressiva pura, che è solo un caso particolare di un modello di regressione e che potrebbe essere dotato di un software di regressione standard per esempio, un primo ordine autoregressivo AR 1 modello per Y è un modello di regressione semplice in cui la variabile indipendente è solo Y ritardato da un GAL periodo Y, 1 in Statgraphics o YLAG1 in RegressIt Se alcuni dei fattori predittivi sono ritardi degli errori, un modello ARIMA nON è un modello di regressione lineare, perché non c'è modo di specificare l'errore all'ultimo periodo s come una variabile indipendente gli errori devono essere calcolati su base periodica-to-periodo in cui il modello è montato i dati da un punto di vista tecnico, la problema con l'utilizzo errori ritardati come predittori è che il modello s previsioni non sono funzioni lineari dei coefficienti, anche se sono funzioni lineari di dati passato Quindi, i coefficienti nei modelli ARIMA che includono errori ritardati deve essere stimato con metodi di ottimizzazione non lineare in salita piuttosto che semplicemente risolvere un sistema di equations. The acronimo ARIMA acronimo di Moving Auto-regressiva integrato ritardi medi della serie stationarized nell'equazione di previsione sono chiamati termini autoregressivi, ritardi degli errori di previsione sono chiamati in movimento termini medi, e una serie temporale che deve essere differenziata da effettuare stazionaria si dice che sia una versione integrata di una serie stazionaria random walk e casuale di tendenza modelli, modelli autoregressivi, e modelli di livellamento esponenziale sono tutti i casi particolari di ARIMA models. A nonseasonal modello ARIMA è classificato come p ARIMA, d, q modello, where. p è il numero di terms. d autoregressivo è il numero di differenze non stagionali necessari per la stazionarietà, and. q è il numero di errori di previsione ritardati nell'equazione previsione equation. The previsione è costruito come segue prima, Y il d th differenza di Y che means. Note che la seconda differenza di Y caso d 2 non è la differenza tra 2 periodi ago piuttosto, è la prima differenza-of-the-first differenza che è l'analogo discreto di una derivata seconda, cioè l'accelerazione locale della serie piuttosto che i termini trend. In locali y l'equazione generale previsione is. Here i parametri media mobile s sono definiti in modo tale che i loro segni sono negativi nel equazione, seguendo la convenzione introdotta da Box e Jenkins Alcuni autori e software, tra cui il linguaggio di programmazione R definirli in modo che abbiano il segno più invece Quando i numeri reali sono inseriti nell'equazione, non c'è ambiguità, ma è importante sapere quale convenzione il software utilizza quando si sta leggendo l'uscita Spesso i parametri sono indicati lì da AR 1, AR 2, e MA 1, MA 2, etc. To identificare il modello ARIMA appropriato per Y si inizia determinando l'ordine di differenziazione d bisogno per stationarize la serie e rimuovere le caratteristiche lordo di stagionalità, forse in concomitanza con una trasformazione di varianza-stabilizzazione, come la registrazione o sgonfiando Se ci si ferma a questo punto e prevedere che la serie differenziata è costante, si è semplicemente montato un random walk o casuale modello di tendenza Tuttavia, la serie stationarized potrebbe ancora essere autocorrelato errori, il che suggerisce che un numero di termini AR p 1 e o alcuni termini MA numero q 1 sono necessari anche nel processo equation. The previsione di determinare i valori di p, d, e q che sono i migliori per una data serie di tempo saranno discussi nelle sezioni successive di note i cui collegamenti sono in cima a questa pagina, ma l'anteprima di alcuni dei tipi di modelli ARIMA non stagionali che sono comunemente riscontrato è dato below. ARIMA 1 , 0,0 primo ordine modello autoregressivo se la serie è fermo e autocorrelato, forse può essere previsto come multiplo del proprio valore precedente, più una costante l'equazione di previsione in questo caso is. which è Y regredito su se stessa ritardato dal un periodo Questo è un modello costante ARIMA 1,0,0 Se la media di Y è zero, allora il termine costante non sarebbe included. If il coefficiente di pendenza 1 è positivo e meno di 1 grandezza si deve essere inferiore a 1 magnitudine se Y è fermo, il modello descrive significare-ritornando comportamento in cui il valore prossimo periodo s dovrebbe essere previsto per essere 1 volte più lontano dalla media come valore di questo periodo s Se 1 è negativa, predice significare-ritornando comportamento con alternanza di segni, cioè prevede anche che Y sarà al di sotto del prossimo periodo media se è superiore alla media questo period. In un autoregressivo modello di secondo ordine ARIMA 2,0,0, ci sarebbe un termine Y t-2 sulla destra così, e così via seconda dei segni e grandezze dei coefficienti, un modello ARIMA 2,0,0 poteva descrivere un sistema il cui reversione medio avviene in modo sinusoidale oscillante, come il moto di una massa su una molla che viene sottoposto a casaccio shocks. ARIMA 0,1,0 random walk Se la serie Y non è fermo, il modello più semplice possibile è un modello casuale, che può essere considerato come un caso limite di un modello AR 1 in cui la coefficiente autoregressivo è uguale a 1, serie IEA con infinitamente lenta mean reversion l'equazione di previsione per questo modello può essere scritto as. where il termine costante è la media cambiamento periodo a periodo cioè a lungo termine deriva in Y questo modello potrebbe essere montato come un modello di regressione non intercetta, in cui la prima differenza di Y è la variabile dipendente Dal momento che include solo una differenza non stagionale e di un termine costante, è classificato come un modello ARIMA 0,1,0 con costante l'random-walk senza - drift modello sarebbe un modello ARIMA 0,1,0 senza constant. ARIMA 1,1,0 differenziato primo ordine modello autoregressivo Se gli errori di un modello random walk sono autocorrelati, forse il problema può essere risolto con l'aggiunta di un ritardo della variabile dipendente per l'equazione di previsione - cioè regredendo la prima differenza di Y su se stessa ritardato di un periodo Questo produrrebbe la seguente previsione equation. which possono essere riorganizzate to. This è un modello autoregressivo del primo ordine con un ordine di differenziazione non stagionale e di un termine costante - vale a dire un ARIMA 1,1,0 model. ARIMA 0,1,1 senza costante semplice esponenziale Un'altra strategia per correggere gli errori autocorrelati in un modello random walk è suggerito dalla semplice modello esponenziale Ricordiamo che smoothing per alcuni non stazionari ad esempio quelli di serie temporali che presentano fluttuazioni rumorosi intorno un lentamente variabile medio, il modello random walk non esegue così come una media mobile dei valori passati in altre parole, invece di prendere l'osservazione più recente come la previsione della successiva osservazione, è meglio usare una media degli ultimi osservazioni al fine di filtrare il rumore e più accuratamente stima media locale il modello esponenziale semplice utilizza una media mobile esponenziale ponderata dei valori del passato per ottenere questo effetto l'equazione di previsione per il semplice modello di livellamento esponenziale può essere scritto in un certo numero di forme matematicamente equivalenti, uno dei quali è il cosiddetto errore di forma di correzione, in cui la precedente previsione viene regolata nella direzione dell'errore esso made. Because e t-1 Y t-1 - t-1 per definizione, questo as. which può essere riscritta è un 0,1,1 ARIMA - senza costante equazione di previsione con 1 1 - questo significa che è possibile montare un semplice livellamento esponenziale specificando come un ARIMA 0,1,1 modello senza costante, e la stima del coefficiente di MA 1 corrisponde a 1-meno-alfa nella formula Ricordiamo SES che nel modello SES, l'età media dei dati nelle previsioni 1-periodo-avanti è 1 il che significa che essi tenderanno a restare indietro tendenze o punti di svolta da circa 1 periodi Ne consegue che l'età media dei dati nelle previsioni 1-periodo-prima di un modello ARIMA 0,1,1 - senza-costante è 1 1 - 1 Così, per esempio, se 1 0 8, l'età media è 5 come 1 avvicina 1, il modello ARIMA 0,1,1 - senza costante diventa un-molto-lungo termine media mobile, e come 1 si avvicina a 0 diventa un random walk-senza-drift model. What s il modo migliore per correggere autocorrelazione aggiunta termini AR o aggiungendo termini MA nelle precedenti due modelli di cui sopra, il problema degli errori autocorrelati in un modello casuale è stato risolto in due modi diversi con l'aggiunta di un valore ritardato della serie differenziata per l'equazione o l'aggiunta di un valore ritardato del errore di previsione quale approccio è meglio una regola empirica per questa situazione, che sarà discusso più dettagliatamente in seguito, è che autocorrelazione positiva è solito è meglio trattata con l'aggiunta di un termine di AR al modello e negativo autocorrelazione di solito è meglio trattata con l'aggiunta di un termine di Master in affari e serie storiche economiche, autocorrelazione negativa si pone spesso come un artefatto di differenziazione In generale, differenziazione riduce autocorrelazione positiva e può anche causare un interruttore da positivo a negativo autocorrelazione Così, il modello ARIMA 0,1,1, in cui differenziazione è accompagnato da un termine di MA, è più spesso utilizzato che un ARIMA 1,1,0 model. ARIMA 0,1,1 con costante semplice livellamento esponenziale con la crescita Implementando il modello SES come modello ARIMA, in realtà guadagna certa flessibilità Prima di tutto, la stima coefficiente MA 1 è permesso di essere negativo questo corrisponde ad un fattore di livellamento maggiore di 1 in un modello SES, che è di solito non consentito dalla SES modello di raccordo procedura secondo luogo, si ha la possibilità di includere un termine costante nel modello ARIMA se lo si desidera, al fine di stimare un non-zero tendenza media il modello ARIMA 0,1,1 con costante ha la previsione equation. The previsioni a un periodo di vantaggio di questo modello sono qualitativamente simili a quelle del modello SES, tranne che la traiettoria delle previsioni a lungo termine è tipicamente una linea obliqua cui pendenza è uguale mu piuttosto che una linea orizzontale. ARIMA 0,2,1 o 0,2,2 senza esponenziale smoothing lineari modelli esponenziale di livellamento lineare costante sono modelli ARIMA che utilizzano due differenze non stagionali in collaborazione con termini MA la seconda differenza di una serie Y non è semplicemente la differenza tra Y e si ritardato da due periodi, ma piuttosto è la prima differenza della prima differenza --ie il cambiamento-in-the-cambiamento di Y al periodo t Così, la seconda differenza di Y al periodo t è pari a Y t - Y t-1 - Y t-1 - Y t-2 Y t - 2Y t-1 Y t-2 una seconda differenza di una funzione discreta è analoga ad una derivata seconda di una funzione continua misura l'accelerazione o la curvatura nella funzione in un determinato punto in time. The ARIMA 0,2,2 modello senza costante prevede che la seconda differenza della serie è uguale a una funzione lineare degli ultimi due errors. which previsione può essere riorganizzate as. where 1 e 2 sono i MA 1 e MA 2 coefficienti Si tratta di un modello di livellamento esponenziale lineare generale essenzialmente lo stesso modello di Holt s, e il modello di Brown s è un caso speciale Esso utilizza in modo esponenziale ponderata medie mobili di stimare sia a livello locale e una tendenza locale nella serie il lungo le previsioni termine da questo modello convergono ad una retta la cui pendenza dipende dalla tendenza media osservata verso la fine del series. ARIMA 1,1,2 senza un costante smorzata-trend lineare smoothing. This esponenziali modello è illustrato nelle slide di accompagnamento su Arima modelli si estrapola la tendenza locale alla fine della serie, ma si appiattisce fuori a orizzonti di previsione più lunghi di introdurre una nota di conservatorismo, una pratica che ha supporto empirico Vedi l'articolo sul perché il Damped Trend opere di Gardner e McKenzie e la regola d'oro articolo di Armstrong ed altri per details. It è in genere consigliabile attenersi a modelli in cui almeno uno dei p e q non è maggiore di 1, vale a dire non cercare di adattarsi a un modello come ARIMA 2,1,2, in quanto questo rischia di portare a problemi overfitting e comune fattore che vengono discussi in modo più dettagliato nelle note sulla struttura matematica dei modelli ARIMA implementazione ARIMA models. Spreadsheet come quelli sopra descritti sono facili da implementare su un foglio di calcolo l'equazione di previsione è semplicemente un equazione lineare che fa riferimento ai valori passati della serie storica originale e valori del passato degli errori Così, è possibile impostare un foglio di calcolo di previsione ARIMA memorizzando i dati nella colonna a, la formula di previsione nella colonna B, e le previsioni di errori dei dati meno nella colonna C La formula di previsione in una tipica cellula in colonna B sarebbe semplicemente un'espressione lineare riferimento ai valori precedenti in file di colonne a e C, moltiplicata per i coefficienti appropriati AR o MA memorizzati nelle celle altrove sulle spreadsheet.11 2 modelli Vector autoregressivi modelli modelli models. VAR p vettore autoregressive VAR sono utilizzati per le serie temporali multivariate la struttura è che ogni variabile è una funzione lineare di ritardi del passato di se stesso e dei ritardi del passato dell'altra variables. As un esempio supponiamo che si misura tre diverse variabili di serie storica , indicato con x, x, e x. The modello vettore autoregressivo di ordine 1, indicato come VAR 1, è come variabile follows. Each è una funzione lineare del ritardo 1 valori di tutte le variabili in set. In un modello VAR 2 , i valori di ritardo 2 per tutte le variabili sono aggiunti ai lati destro delle equazioni, nel caso di tre variabili x o serie tempo ci sarebbero sei fattori predittivi sul lato destro di ogni equazione, tre GAL 1 termini e le tre lag 2 terms. In generale, per un modello p VAR, il primo p ritardi di ogni variabile nel sistema verrebbe utilizzato come predittori di regressione per ogni modelli variable. VAR sono un caso specifico di modelli più generali Varma modelli Varma per le serie temporali multivariate includono la struttura VAR sopra insieme con lo spostamento termini medi per ogni variabile Più in generale ancora, questi sono casi speciali di modelli ARMAX che consentono l'aggiunta di altri predittori che sono al di fuori del set multivariata del capitale interest. Here, come nella sezione 5 8 del testo , abbiamo ll concentriamo su VAR models. On pagina 304, gli autori si adattano al modello della forma. mathbf t Gamma mathbf t phi mathbf mathbf t. where mathbf t 1, t include termini per soddisfare contemporaneamente il costante e Trend E 'nata da dati macroeconomici in cui grandi cambiamenti nei dati influiscono in modo permanente il livello del series. There è un non così sottile differenza qui dalle lezioni precedenti che ora sono montaggio di un modello di dati che non deve necessariamente essere stazionario nelle versioni precedenti del testo, gli autori separatamente de-i trend ciascuna serie utilizzando una regressione lineare con t, l'indice del tempo, come il predittore variabili i valori di de-trend per ciascuna delle tre serie sono i residui di questa regressione lineare su t la de-trend è utile concettualmente perché toglie la forza di governo comune che il tempo può avere su ogni serie e stazionarietà creato come abbiamo visto nelle lezioni precedenti questo approccio risulta in coefficienti di simile, anche se leggermente diversa in quanto stiamo contemporaneamente raccordo l'intercetta e Trend insieme in un multivariata OLS model. The R vars biblioteca scritto da Bernhard Pfaff ha la capacità di adattarsi questo modello con tendenza Sia s un'occhiata a 2 esempi di un modello differenza-stazionari e un trend stazionario model. Difference-stazionari Model. Example 5 10 dal testo è un modello di differenza-stazionaria in quel primo differenze sono stazionarie sia s esaminare il codice e l'esempio dal testo montando il modello sopra. Se non è già installato libreria se non è già installato vars astsa biblioteca x cbind cmort, tempr, parte principale, XLAB sintesi VAR x, p 1, tipo both. The primi due comandi caricano i comandi necessari dalla libreria VAR e i dati necessari dal nostro testo s library. The cbind comando crea un vettore di variabili di risposta un passo necessario per il comando multivariata responses. The VAR non stima di modelli AR utilizzando i minimi quadrati ordinari e contemporaneamente il montaggio della tendenza, intercetta, e il modello ARIMA l'argomento p 1 richiede un AR 1 struttura e sia adatta costante e di tendenza con il vettore di risposte, è in realtà un 1.Following VAR è l'output del comando VAR per la variabile tempr il testo prevede l'uscita per i coefficienti cmort. The per una variabile sono elencati nel stimare colonna L1, allegate ad ogni nome di variabile indica che sono lag 1 temperatura notazione T variables. Using, tempo t raccolte settimanale, M tasso di mortalità, e l'inquinamento P, l'equazione per la temperatura è. cappello t 67 586-007 t - 0 244 0 M 487 T - 0 128 equazione P. The per tasso di mortalità è. cappello t 73 227 0 014 0 465 t M - 0 361 0 099 T P. The equazione per l'inquinamento è. cappello t 67 464-005 t - 0 125 M - 0 477 0 581 T matrice di covarianza P. The dei residui del VAR 1 per le tre variabili è stampata sotto la stima risultati Gli scostamenti sono giù la diagonale e potrebbero eventualmente essere utilizzati per confrontare questo modello di ordine superiore VAR il determinante di tale matrice è utilizzato nel calcolo della statistica BIC che può essere utilizzato per confrontare l'adattamento del modello per la misura di altri modelli vedi formule 5 89 e 5 90 del testo. per ulteriori riferimenti su questa tecnica vedere Analisi di serie temporali integrato e co-integrato con R da Pfaff e anche Campbell e Perron 1991.In Esempio 5 11 a pagina 307, gli autori danno risultati di un modello VAR 2 per i dati tasso di mortalità R, si può montare il modello VAR 2 con il VAR x command. summary, p 2, digitare both. The uscita, come visualizzato dal comando VAR è come follows. Again, i coefficienti per una particolare variabile sono elencati nella colonna Preventivo Come esempio, l'equazione stimata per la temperatura è. cappello t 49 88-005 t - 0 109 0 M 261 T 0 051 P - 0 041 0 M 356 T 0 095 P. We discuterà di informazioni statistiche criterio per confrontare modelli VAR di diversi ordini nei homework. Residuals sono disponibili per anche analisi per esempio, se si assegna il comando VAR a un oggetto fitvar2 dal titolo nella nostra program. fitvar2 VAR x, p 2, tipo both. then abbiamo accesso ai residui di matrice fitvar2 Questa matrice avrà tre colonne, una colonna di residui per ogni esempio variable. For, potremmo use. to vedere la ACF dei residui per tasso di mortalità dopo il montaggio del model. Following VAR 2 è l'ACF che ha portato dal comando appena descritto sembra buono per un residuo di ACF il grande picco al inizio è il poco importante lag 0 correlation. The seguenti due comandi creerà ACFS per i residui per gli altri due variables. They anche assomigliare noise. We bianco possono anche esaminare queste trame nella matrice di correlazione incrociata fornite da ACF residui fitvar2.The trame lungo la diagonale sono le singole ACFS per residui ogni modello s che abbiamo appena discusso in precedenza inoltre, ora vediamo le trame di cross-correlazione di ciascun gruppo di residui Idealmente, questi sarebbero anche assomigliare rumore bianco, ma che vediamo restante cross-correlazioni , in particolare tra la temperatura e l'inquinamento come i nostri autori nota, questo modello non individuare adeguatamente l'associazione completa tra queste variabili in Model. Lets time. Trend-stazionari esplorare un esempio in cui i dati originali sono fermi ed esaminare il codice VAR inserendo il modello sopra sia con una costante e di tendenza con R, abbiamo simulato n 500 valori di esempio utilizzando il VAR 2 model. Using il comando VAR spiegato sopra. sintesi VAR cbind Y1, Y2, p 2, tipo both. We ottenere le seguenti output. The stime sono molto vicino ai coefficienti simulate e la tendenza non è significativo, come previsto per i dati stazionari, quando l'eliminazione del trend è necessaria, si può anche usare il comando per montare un y2 VAR model. fitvar2, ordine 2.In la prima matrice data, leggere attraverso una fila per ottenere i coefficienti per una variabile le virgole precedenti seguiti da 1 o 2 indicano se i coefficienti sono lag 1 o 2 variabili lag rispettivamente le intercettazioni delle equazioni sono date sotto lo intercetta per matrice variable. The sotto dà la matrice di varianza-covarianza dei residui del VAR 2 per le due variabili le varianze sono lungo la diagonale e potrebbe essere utilizzato per confrontare questo modello a ordine superiore VAR come notato above. The errori standard dei coefficienti AR sono date dal comando i is. As uscita con i coefficienti, leggere attraverso le righe la prima riga dà gli errori standard dei coefficienti per le variabili lag 1 che predicono Y1 il seconda fila dà gli errori standard per i coefficienti che predicono y2.You può notare che i coefficienti sono vicini al comando VAR tranne l'intercetta Questo perché le stime del modello di x-media x per abbinare l'intercetta fornita dalla sintesi VAR cbind Y1 , y2, p 2, tipo di comando const, si deve calcolare l'intercetta come follows. In nostro esempio, l'intercetta per il modello simulato per YT, 1 equals.-0 043.637 -2 733607 1-0 2930 0 4523 15 45479 -0 1913-0 6365 9 580768.and l'equazione stimata per YT, 1.Estimation con gli utenti Minitab. For Minitab, qui s il flusso generale di cosa do. Read i dati in columns. Use Time Series richiesto per creare le necessarie colonne ritardati del stazionario values. Use Stat ANOVA generale MANOVA. Enter l'elenco delle variabili di tempo presenti come la risposta variables. Enter le variabili x ritardati come covariate e i risultati model. Click e selezionare analisi univariata per vedere i coefficienti di regressione stimati per ogni equazione. Se si desidera, fare clic su bagagli e selezionare residui eo Fits. There sono un certo numero di approcci alla serie temporali modellazione Abbiamo delineare alcuni degli approcci più comuni below. Trend, stagionali, residuo approccio Decompositions. One è quello di scomporre la serie storica in una tendenza, stagionale, e residuale component. Triple livellamento esponenziale è un esempio di questo approccio altro esempio, chiamato loess stagionale, si basa su minimi quadrati ponderati a livello locale ed è discusso da Cleveland 1993 non discutiamo loess stagionale in questo handbook. Frequency Based approccio Methods. Another, comunemente utilizzati in applicazioni scientifiche e ingegneristiche, è quello di analizzare la serie nel dominio della frequenza un esempio di questo approccio nel modellare un insieme di dati di tipo sinusoidale viene mostrato nella trave caso deflessione studio la trama spettrale è lo strumento principale per l'analisi di frequenza del tempo series. Autoregressive AR Models. A approccio comune per la modellazione di serie temporali univariata è il modello autoregressivo AR Xt delta phi1 X phi2 X cdots PHIP X a, dove Xt è la serie di tempo, a è rumore bianco, e delta sinistra 1 - somma p phii mu destro con mu denota il processo mean. An modello autoregressivo è semplicemente una regressione lineare del valore attuale della serie contro uno o più valori precedenti della serie il valore di p è chiamato l'ordine del modello AR modelli. AR possono essere analizzati con uno dei vari metodi, tra cui lineare dei minimi quadrati tecniche standard di Essi hanno anche un approccio comune diretto interpretation. Moving media MA Models. Another per la modellazione di modelli di serie storica univariati è il modello a media mobile MA Xt mu a - theta1 A - theta2 A - cdots - thetaq A, dove Xt è la serie storica, mu è la media della serie, A sono termini bianche di rumore, e theta1,, ldots,, thetaq sono i parametri del modello il valore di q è chiamato l'ordine del MA model. That è un modello di media mobile è concettualmente una regressione lineare del valore attuale della serie contro il rumore bianco o shock casuali di uno o più valori precedenti della serie The shock casuali in ogni punto sono presume provenire dalla stessa distribuzione, in genere una distribuzione normale, con la posizione a zero e la scala costante la distinzione in questo modello è che questi shock casuali sono propogated ai valori futuri delle serie temporali Montaggio delle stime MA è più complicato rispetto ai modelli AR perché i termini di errore non sono osservabili Ciò significa che iterative procedure di montaggio non lineari devono essere utilizzati al posto dei minimi quadrati modelli MA lineari hanno anche una interpretazione meno evidente rispetto AR models. Sometimes l'ACF e PACF suggerirà che un modello MA sarebbe essere una scelta del modello migliore e talvolta entrambi AR e termini mA devono essere utilizzati nello stesso modello vedere la sezione 6 4 4 5.Note, tuttavia, che i termini di errore dopo che il modello è in forma dovrebbe essere indipendente e seguire le ipotesi standard per un univariata process. Box e Jenkins hanno diffuso un approccio che combina i mobili approcci media e la autoregressivi nel Previsione libro Time Series Analysis e Control Box, Jenkins, e Reinsel, 1994.Although sia autoregressivo e in movimento approcci media erano già noti e sono stati originariamente studiato da Yule, il contributo di Box e Jenkins era nello sviluppo di una metodologia sistematica per identificare e stimare modelli che potrebbero incorporare entrambi gli approcci Questo rende modelli Box-Jenkins una potente classe di modelli le prossime sezioni saranno discutere di questi modelli nel dettaglio.